1) Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 40 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ делит прямоугольник, равен 36 см 2) Стороны треугольника ABC равны 14 см, 12 см и 8 см, а вершины его-середины сторон другого треугольника. Найдите периметр большего треугольника. 3) Средняя линия трапеции равна 9 м, а одно из оснований больше другого на 4 м. Найдите основание трапеции. 4) Дан ромб с углом 120 градусов и стороной, равной 5,3 м. Найдите меньшую диагональ ромба

1)

Прямоугольником есть четырехугольник, в которого противоположные стороны равны, а все углы прямые:

АВ = ВС = СД = АД.

Периметром же есть сумма всех его сторон:

Р = АВ + ВС + СД + АД.

Таким образом:

АВ + ВС = СД + АД = Р / 2;

АВ + ВС = СД + АД = 40 / 2 = 20 см.

Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Возьмем, к примеру, треугольник ΔАВС.

Так как периметр его равен 36 см, а сумма длины сторон АВ и ВС равна 20 см, то:

АС = 36 - 20 = 16 см.

Ответ: длина диагонали АС равна 16 см.

2)

Если средины сторон треугольника соединить отрезками, то эти отрезки будут средними линиями данного треугольника.

Эти линии параллельны третьей стороне и равны половине ее длины:

АВ = А₁В₁ / 2;

ВС = В₁С₁ / 2;

АС = А₁С₁ / 2.

Таким образом:

А₁В₁ = 2 АВ;

А₁В₁ = 2 · 14 = 28 см;

В₁С₁ = 2 ВС;

В₁С₁ = 2 · 12 = 24 см;

А₁С₁ = 2 АС;

А₁С₁ = 2 · 8 = 16 см.

Периметром треугольника есть сумма всех его сторон.

Р_{А1 В1 С1} = А₁В₁ + В₁С₁ + А₁С₁;

Р_{А1 В1 С1} = 28 + 24 + 16 = 68 см.

Ответ: периметр большего треугольника равен 68 см.

3)

Средняя линия трапеции - это отрезок, что соединяет средины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = (a + b) / 2;

Так как основание АД на 4 м больше основания ВС, то выразим:

х - основание ВС;

х + 4 - основание АД;

(х + х + 4) / 2 = 9;

х + х + 4 = 9 · 2;

х + х + 4 = 18;

х + х = 18 - 4;

2 х = 14;

х = 14 / 2 = 7;

ВС = 7 м;

АД = 7 + 4 = 11 м.

Ответ: основания трапеции равны 7 м и 11 м.

4)

Диагональ ромба АС делит его на два равных равнобедренных треугольника. Рассмотрим треугольник ΔАВС.

Угол ∠ВАС равен 60º, так как диагональ ромба является биссектрисой его углов и делит их пополам, а угол ∠А равен 120°:

∠ВАС = 120° / 2 = 60°.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:

∠ВСА = ∠ВАС = 60°.

Так как сумма всех углов треугольника составляет 180°, то:

∠АВС = 180° - ∠ВСА - ∠ВАС;

∠АВС = 180° - 60° - 60° = 60°

Исходя из этого, видим что данный треугольник есть правильным и все его стороны будут так же равны. Поэтому диагональ АС равна стороне АВ:

АС = АВ = ВС = 5,3 см.

Ответ: меньшая диагональ ромба равна 5,3 см.