Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом, тангенс которого равен 1,5.

Объем правильной треугольной пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник, все углы которого равны 60°. Площадь такого треугольника определим как половину произведения квадрата стороны на синус угла:

S_осн = 0,5 * a² * sin 60° = 0,5 * 6² * √3 / 2 = 9√3.

Проекция бокового ребра пирамиды совпадает с радиусом описанной около основания-треугольника окружности, который можем найти по формуле:

R = a / √3 = 6 / √3 = 2√3 - проекция бокового ребра на основание.

В прямоугольном треугольнике, в котором боковое ребро - гипотенуза, высота и проекция бокового ребра - катеты, высота - катет, противолежащий углу между боковым ребром и плоскостью основания, тангенс которого по условию равен 1,5. Отношение противолежащего катета к прилежащему - тангенс угла, значит:

h / R = tg α = 1,5;

h = 1,5 * R = 1,5 * 2√3 = 3√3 - высота данной пирамиды.

V = S_осн * h / 3 = 9√3 * 3√3 / 3 = 27 - искомый объем пирамиды.