Радиус окружности ваисанной в прямоугольный треугольник равен 4 а один из катетов равен 12 найти длину другого катета

Обозначим через x длину второго катета данного треугольника.

Так как длина первого катета равна 12, то, согласно теореме Пифагора, гипотенуза этого треугольника должна быть равной √ (12^2 + х^2) = √ (144 + х^2), а площадь этого треугольника должна быть равной 12 х/2 = 6 х.

Согласно условию задачи, радиус окружности, вписанной в этот прямоугольный треугольник равен 4, следовательно, применяя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности, можем составить следующее уравнение:

6 х = 4 * (12 + х + √ (144 + х^2)) / 2

решая которое, получаем:

6 х = 2 * (12 + х + √ (144 + х^2));

12 + х + √ (144 + х^2) = 6 х/2;

12 + х + √ (144 + х^2) = 3 х;

√ (144 + х^2) = 3 х - х - 12;

√ (144 + х^2) = 2 х - 12;

144 + х^2 = (2 х - 12) ^2;

144 + х^2 = 4 х^2 - 48 х + 144;

х^2 = 4 х^2 - 48 х;

4 х^2 - 48 х - х^2 = 0;

3 х^2 - 48 х = 0;

3 х * (х - 16) = 0;

х1 = 0;

х2 = 16.

Так как длина катета не может быть равной 0, то значение х = 0 не подходит.

Следовательно, длина другого катета равна 16.

Ответ: 16.