Даны два равных треугольника ABC=A1B1C1, у которых угол А = углу А1, а углы В и В1 тупые. Доказать, что расстояния от вершин А и А1 соответственно до прямых ВС и В1 С1 равны

Решение.

Пусть даны два равных тупоугольных треугольника ∆ ABC = ∆ A₁B₁C₁, у которых ∠А = ∠А₁, а ∠В и ∠В₁ - тупые. Чтобы доказать, что расстояния от вершин А и А₁ соответственно до прямых ВС и В₁С₁ равны, проведём высоты АН и А₁Н₁ и рассмотрим получившиеся прямоугольные ∆ ABН и ∆ A₁B₁Н₁.

В них АВ = А₁В₁ (как равные соответствующие стороны в ∆ ABC = ∆ A₁B₁C₁).

∠АВН = ∠А₁B₁Н₁ (как смежные равным соответствующим углам ∠ABC и ∠ A₁B₁C₁ в ∆ ABC = ∆ A₁B₁C₁).

Значит, ∆ ABН = ∆ A₁B₁Н₁ по 3 признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Тогда соответствующие катеты АН = А₁Н₁. А это и есть расстояния от вершин А и А₁ соответственно до прямых ВС и В₁С₁.

Что и требовалось доказать.