Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см квадратных. Найдите катеты этого треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = 0,5 * a * b;

a * b = 2 * S = 2 * 180 = 360.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

a² + b² = 41² = 1681.

Получаем систему уравнений:

1) a * b = 360;

2) a² + b² = 1681.

Умножаем обе части первого уравнения на 2, складываем полученный результат со вторым уравнением:

2 * a * b + a² + b² = 720 + 1681;

(a + b) ² = 2401;

a + b = √2401 = 49.

Отсюда, a = 49 - b, подставляем полученное значение для а в первое уравнение системы:

b * (49 - b) = 360;

49 * b - b² = 360;

b² - 49b + 360 = 0.

Решаем квадратное уравнение:

D = 49² - 4 * 360 = 2401 - 1440 = 961 = 31².

b₁ = (49 - 31) / 2 = 18 / 2 = 9;

b₂ = (49 + 31) / 2 = 80 / 2 = 40.

При b = 9, a = 49 - 9 = 40.

При b = 40, a = 49 - 40 = 9.

Следовательно, катеты данного треугольника равны 9 см и 40 см.