ABCD прямоугольник, АВ = 3, точка К принадлежит АВ, точка М принадлежит CD, угол КАС = 30 градусам, АКСМ ромб, Найти АК

1. Из △ABC: ∠ABC = 90° (так как ABCD - прямоугольник, а все его углы прямые), ∠BAC (он же ∠KAC) = 30°, AB = 3 и BC - катеты, AC - гипотенуза.

Так как BC лежит против угла, равного 30°, то по свойствам прямоугольного треугольника:

BC = AC/2.

По теореме Пифагора:

AC² = AB² + BC²;

AC² = 3² + (AC/2) ²;

AC² = 9 + AC²/4;

AC² - AC²/4 = 9;

(4 * AC² - AC²) / 4 = 9;

(3 * AC²) / 4 = 9;

AC² = (4 * 9) / 3 (по пропорции);

AC² = 36/3;

AC² = 12;

AC = √12;

AC = 2√3.

2. АКСМ - ромб: AC = 2√3 и KM - диагонали. Диагонали ромба пересекаються под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. AC и KM пересекаются в точке O, тогда:

AO = AC/2 = 2√3/2 = √3.

Из △AKO: ∠AOK = 90°, ∠KAO (он же ∠KAC) = 30°, AO = √3 и KO - катеты, AK - гипотенуза.

Так как KO лежит против угла, равного 30°, то по свойствам прямоугольного треугольника:

KO = AK/2.

По теореме Пифагора:

AK² = AO² + KO²;

AK² = (√3) ² + (AK/2) ²;

AK² = 3 + AK²/4;

AK² - AK²/4 = 3;

(4 * AK² - AK²) / 4 = 3;

(3 * AK²) / 4 = 3;

AK² = (4 * 3) / 3;

AK² = 4;

AK = √4;

AK = 2.

Ответ: AK = 2.