Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h а сторона основания a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

В правильной четырёхугольной пирамиде основанием является квадрат. Боковые грани - равные треугольники, а высота из вершины опускается в центр пересечения диагоналей квадрата.

Площадь полной поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок + Sосн = ½ * P*L + a^2, где Sосн - площадь квадрата, Р - периметр квадрата, L - апофема.

P = 4*a.

Вычислим апофему.

Для этого рассмотрим одну из боковых граней пирамиды. Назовем её ASB с апофемой SD = L, SO = h, точка О - центр пересечения диагоналей квадрата.

Тогда, из треугольника SOD по теореме Пифагора найдём:

SD^2 = L^2 = SO^2 + OD^2 = h^2 + (a/2) ^2 = h^2 + a^2/4

L = (h^2 + a^2/4) ^ (1/2)

Значит,

Sполн = ½ * P*L + a^2 = ½ * 4 * а * (h^2 + a^2/4) ^ (1/2) + a^2 = 2 * а * (h^2 + a^2/4) ^ (1/2) + a^2 = а * (2 * (h^2 + a^2/4) ^ (1/2) + a).