Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной

Теорема.

Касательная, проведенная к окружности, создает с радиусом, проведенным в точку касания, прямой угол.

Доказательство.

Пусть нам дана окружность с центром в точке О. Пусть касательная t к данной окружности касается окружности в точке R. Значит мы будем рассматривать радиус OR.

Нам нужно докажем, что прямая t перпендикулярна радиусу окружности OR.

Доказывать будем методом от противного.

Предположим, что прямая t не перпендикулярна OR.

В таком случае радиус окружности OR будет наклонной к прямой t. Перпендикуляр, который в этом случае можно провести из центра окружности О к прямой t, должен быть меньшей длины чем наклонная OR. Делаем вывод, что расстояние от центра окружности точки О до прямой t меньше радиуса. Значит, прямая t и окружность будут иметь две общие точки, то есть прямая t является секущей. Полученная утверждение противоречит условию теоремы, так как t задана как касательная к окружности.

Сделав предположение мы получили противоречие. Следовательно, делаем вывод, что предположение не верно и прямая t перпендикулярна радиусу OR.

Таким образом, касательная, проведенная к окружности, создает с радиусом прямой угол, который проведен в точку касания.

Теорема доказана.