сформулируйте и докажите теорему об окружности вписанной в треугольник? сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Теорема об окружности, вписанной в треугольника звучит следующим образом:

В любой треугольник можно вписать окружности и при чем только одну.

Центр вписанной в треугольник окружности будет является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Для того, чтобы доказать теорему начнем с того, что обозначим за ABC - искомый треугольник, а с помощью O - обозначим центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис, как сказано выше). Проведем радиусы от центра окружности к точкам касания окружности сторон треугольника.

Мы видим, что треугольники AEO = треугольнику AOD (согласно четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников)

АО является биссектрисой угла EAD.

Так же, точка О лежит на двух других биссектрисах - ВО (EO = OF, OB общая) и ОС (DO = OF, OC общая).

Что и требовалось доказать.