Разность длин оснований трапеции равна 14 см; длины боковых сторон равны 13 см и 15 см. Вычислить площадь трапеции при условии, что в эту трапецию можно вписать окружность.

1. Вершины трапеции А, В, С, Д. АВ = 13 см. СД - 15 см. АД - ВС = 14 см.

2. Согласно свойствам трапеции, в нее можно вписать окружность, если суммарная длина

оснований равна суммарной длине боковых сторон.

То есть, ВС + АД = АВ + СД = 13 + 15 = 28 см.

3. По условию задачи АД - ВС = 14 см. Следовательно, 2 АД = 42 см, АД = 21 см.

ВС = 28 - 21 = 7 см.

4. Из вершины В проведем высоту ВН, а из вершины С высоту СЕ.

АН = АД - НЕ - ДЕ. НЕ = ВС = 7 см.

АН = 14 - ДЕ.

5. Треугольники АВН и СВЕ прямоугольные. Длины высот ВН и СЕ, согласно теореме Пифагора,

вычисляются по формулам:

ВН² = АВ² - АН² = 13² - (14 - ДЕ) ².

СЕ² = СД² - ДЕ² = 15² - ДЕ².

ВН = СЕ.

13² - (14 - ДЕ) ² = 15² - ДЕ².

169 - 196 + 28 ДЕ - ДЕ² = 225 - ДЕ².

28 ДЕ = 252.

ДЕ = 9 см.

АН = 14 - 9 = 5 см.

СЕ = √СД² - ДЕ² = √15² - 9² = √225 - 81 = √144 = 12 см.

6. Вычисляем площадь S заданной трапеции:

S = (ВС + АД) / 2 х СЕ = (7 + 21) / 2 х 12 = 168 см².

Ответ: площадь заданной трапеции равна 168 см².