Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а длины оснований относятся как 1:3. Найти площадь трапеции если известно, что в неё можно вписать окружность.

По условию дана трапеция: а - меньшее основание, b - большее основание, с = 13 и d = 15 - боковые стороны.

1. Из условия известно, что в данную трапецию можно вписать окружность. Из свойств трапеции известно, что если в трапецию можно вписать окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда меньшее основание а обозначим как х, а большее основание b как 3 х (потому что а : b = 1 : 3). Получается выражение:

х + 3 х = 13 + 15;

4 х = 28;

х = 28 / 4;

х = 7 см.

Меньшее основание а = х = 7 см, тогда большее основание b = 3 х = 3 * 7 = 21 (см).

2. Высота трапеции находится по формуле:

h = √ (c^2 - ¼ ((c^2 - d^2) / (b - a) + b - a) ^2)

Подставим известные нам значения в эту формулу:

h = √ (13^2 - ¼ ((13^2 - 15^2) / (21 - 7) + 21 - 7) ^2) = √ (169 - ¼ ((169 - 225) / 14 + 14) ^2) = √ (169 - ¼ ((-56) / 14 + 14) ^2) = √ (169 - ¼ ( - 4 + 14) ^2) = √ (169 - ¼ (10) ^2) = √ (169 - ¼ * 100) = √ (169 - 25) = √144 = 12 (см).

3. Найдем длину средней линии трапеции:

m = (a + b) / 2;

m = (7 + 21) / 2 = 28 / 2 = 14 (см).

Площадь трапеции найдем по формуле:

S = m * h;

S = 14 * 12 = 168 (см квадратных).

Ответ: S = 168 см квадратных.