1 Задача: Биссектриса одного из углов прямоугольника делит одну из его сторон на два отрезка, длины которых 12 и 8 см. Вычислите длины сторон прямоугольника! 2 Задача: Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна 15 градусов! Найдите углы ромба!

1)

Прямоугольник - это четырехугольник, в котором все углы прямые.

Рассмотрим треугольник ΔАВК.

Так как биссектриса делит угол пополам, то:

∠АВК = 90° / 2 = 45°.

Так как сумма всех углов треугольника равна 180°, то:

∠АКВ = 180° - ∠ВАК - ∠АВК;

∠АКВ = 180° - 90° - 45° = 45°.

Данный треугольник является равнобедренным, так как в нем углы при основании равны.

Исходя из этого:

АВ = АК = 12 см.

Так как биссектриса делит сторону АД на отрезки 12 см и 8 см, то:

АД = АК + КД;

АД = 12 + 8 = 20 см.

Ответ: сторона АВ равна 12 см, сторона АД равна 20 см.

2)

Диагонали ромба являются биссектрисами его улов и делят их пополам. Исходя из этого:

∠В = ∠АВО · 2;

∠А = ∠ВАО · 2.

Таким образом, образуются четыре равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим треугольник ΔАВО.

Так как угол ∠АВО на 15° меньше угла ∠ВАО, то выразим:

х - градусная мера ∠АВО;

х + 15° - градусная мера угла ∠ВАО;

х + х + 15 + 90 = 180;

х + х = 180 - 90 - 15;

2 х = 75;

х = 75 / 2 = 37,5;

∠АВО = 37,5°;

∠ВАО = 37,5° + 15° = 52,5°;

∠В = 37,5° · 2 = 75°;

∠А = 52,5° · 2 = 105°.

Ответ: углы ромба равны 75° и 105°.