Из точки плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Наклонная обращует с плоскостью угол в 45 градусов, проекция наклонной 6 см. Найдите длину наклонной.

Пусть точка, из которой проведены перпендикуляр и наклонная, - это точка А. Точка В - это точка пересечения наклонной с плоскостью, а точка С - это точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Таким образом, образовался прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, катетами АС и ВС = 6 см и прямым углом С = 90 градусов. Угол В равен 45 градусов по условию.

Рассмотрим треугольник АВС.

Из теоремы о сумме углов треугольника известно, что сумма всех углов любого треугольника равна 180 градусов. Тогда:

угол А + угол В + угол С = 180 градусов;

угол А + 45 градусов + 90 градусов = 180 градусов;

угол А = 180 градусов - 135 градусов;

угол А = 45 градусов.

В треугольнике АВС два угла А и В равны между собой, можно сделать вывод, что АВС - равнобедренный треугольник. Тогда АВ является основанием равнобедренного треугольника, а катеты АС и ВС равны между собой, то есть АС = ВС = 6 см.

По теореме Пифагора найдем длину АВ:

АВ = √ (ВС^2 + АС^2) = √ (6^2 + 6^2) = √ (36 + 36) = 6√2 (см).

Ответ: АВ = 6√2 см.