Дан правильный 1) четырёхугольник; 2) 12-угольник. Найдите отношение площадей вписанного и описанного в него кругов.

Question

Диана Новикова

Геометрия

8 февраля, 18:31

Дан правильный 1) четырёхугольник; 2) 12-угольник. Найдите отношение площадей вписанного и описанного в него кругов.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Bulik · Answer 1

Рассмотрим общую формулу. Для правильного n-угольника найдем радиус описанной и вписанной окружностей. Описанная: R = a / (2sin (360/2n)), где n - количество сторон многоугольника, а - длина его стороны. Вписанная окружность: r = a / (2tg (360/2n)), обозначения те же. Площадь круга S=pi*R^2. Тогда отношение площадей кругов это отношение квадратов их радиусов:

1) R = a/2sin (45) = a/sqrt (2). r = a/2tg (45) = a/2.

Отношение площадей: SR/Sr = (a^2*4) / (a^2*2) = 2.

2) R = a/2sin (15), r = a/2tg (15).

SR/Sr = tg (15) ^2 / sin (15) ^2 = 1/cos (15) ^2 = 8 / (4 + sqrt (12)).