Площадь круга, вписанного в правильный треугольник равна 16 п см квадратных. Найдите площадь описанного около этого треугольника круга

Обозначим через r радиус круга, вписанного в данный правильный треугольник.

Согласно условию задачи, площадь этого круга равна 16 п см^2, следовательно, можем составить следующее уравнение:

п * r^2 = 16 п,

решая которое, получаем:

r^2 = 16 п / п;

r^2 = 16;

r = √16 = 4 см.

Обозначим через а длину стороны данного правильного треугольника.

Применяя формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними, выражаем через а площадь данного треугольника:

а * а * sin (60°) / 2 = a^2 * (√3/2) * 1/2 = a^2 * √3/4.

Применяя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности, можем составить следующее уравнение:

a^2 * √3/4 = (3a/2) * 4,

решая которое, получаем:

a^2 * √3/4 = 6a;

a * √3/4 = 6;

a = 6 * 4/√3 = 24/√3 = 24√3/3 = 8√3 см.

Применяя формулу площади треугольника через радиус R описанной окружности, находим R:

R = (8√3) ^3 / (4 * (8√3) ^2 * √3/4) = (8√3) ^3 / ((8√3) ^2 * √3) = 8√3/√3 = 8 см.

Находим площадь круга, описанного вокруг данного треугольника:

п * R^2 = п * 8^2 = 64 п см^2.

Ответ: 64 п см^2.