Радиус окружности, описанной около правильного треугольника равен 6, найти длину окружности, вписанной в этот треугольник.

Обозначим через а длину стороны данного равностороннего треугольника.

Так как каждый угол правильного треугольника равен 60°, то площадь S данного треугольника должна быть равной:

S = a * a * sin (60°) / 2 = a^2 * (√3/2) / 2 = a^2 * (√3) / 4.

В исходных данных к данному заданию сообщается, что радиус окружности описанной около данного треугольника равен 6 см.

Используя формулу площади треугольника через радиус описанной окружности, можем составить следующее уравнение:

a^2 * (√3) / 4 = a^3 / (4 * 6),

решая которое, получаем:

(√3) / 4 = a / (24);

а = (24 * √3) / 4 = 6√3 см.

Находим полупериметр р треугольника:

р = (а + а + а) / 2 = 3 а/2 = 3 * 6√3 / 2 = 9√3 см.

Используя формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности, находим этот радиус:

r = S / p = (6√3) ^2 * (√3) / 4 / (9√3) = 36 * 3 / 36 = 3 см.

Ответ: 3 см.