Один из катет прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 9 см. Найдите гипотенузу

Дан △ABC: ∠C = 90°, AC = 15 см и BC - катеты, AB - гипотенуза.

Из вершины C проведем высоту CK к гипотенузе AB, тогда отрезки AK и BK являются проекциями катетов AC и BC, таким образом BK = 9 см.

Обозначим отрезок AK как x, тогда длина гипотенузы равна:

AB = AK + BK = x + 9.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что каждый катет является средним геометрическим гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть:

AC² = AB * AK.

Тогда:

(x + 9) * x = 15²;

x² + 9 * x = 225;

x² + 9 * x - 225 = 0.

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D = b² - 4 * a * c = 9² - 4 * 1 * ( - 225) = 81 + 900 = 981.

x = ( - b + / - √ D) / 2 * a.

x₁ = ( - 9 + √ 981) / 2 * 1 = ( - 9 + 3 √ 109) / 2.

x₂ = ( - 9 - √ 981) / 2 * 1 = ( - 9 - 3 √ 109) / 2 - данное значение x не имеет смысла, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательным числом.

Таким образом, AK = x = ( - 9 + 3 √ 109) / 2 см.

Найдем длину гипотенузы:

AB = ( - 9 + 3 √ 109) / 2 + 9 = ( - 9 + 3 √ 109 + 18) / 2 = (9 + 3 √ 109) / 2 (см).

Ответ: AB = (9 + 3 √ 109) / 2 см.