Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон АВ, BC и АС в точках K L M соответственно. Найти KL, если АМ=2, МС=3 и уголС=π/3. Как решить эту задачу? ответ: 5

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки, отрезки касательных равны:

AM + AK = 2;

CM = CL = 3;

BK = BL = x.

По теореме косинусов:

AB² = AC² + BC² - 2 · AB · BC · cos (π/3);

(х + 2) ² = 5² + (x + 3) ² - 2 · 5 · (x + 3) · (1/2);

x = 5;

Из прямоугольного треугольника МОС:

OM = MC · tg (π/6) = 3 · (√ 3 / 3) = √ 3;

Четырехугольник BKLO:

∠ BKO = ∠BLO = 90 °;

BK = BL = 5;

OK = OL = √ 3;

BO = √ 5² + (√3) ² = √ 28 = 2√ 7;

Диагонали четырехугольника BO и KL взаимно перпендикулярны.

Из фомул вычисления площади прямоугольного треугольника:

S = (1/2) a · b и S = (1/2) C · h;

(1/2) KL = BK · OK/BO;

KL = 2 · 5 · √ 3 / 2√ 7 = 5√ 3/7;

Ответ: 5 √ 3/7