Дан прямоугольный треугольник АВС. Гипотенуза равна 13. Вписанная в него окружность имеет радиус 2. Найти площадь треугольника.

Как мы знаем из школьной программы, для того, чтобы найти радиус окружности, что вписана в такой треугольник, существует формула:

r = (a + b - c) : 2.

Тогда получаем:

a + b = 2 * 2 + 13;

а + b = 17.

Пусть первый катет будет равен m.

Тогда второй будет выражаться как 17 - m.

Так как гипотенуза равна 13, то запишем уравнение и вычислим катеты:

m² + (17 - m) ² = 13²;

m² + 289 - 34m + m² - 169 = 0;

m² - 17m + 60 = 0;

D = 289 - 240 = 49 = 7²;

m₁ = (17 + 7) : 2 = 12;

m₂ = (17 - 7) : 2 = 5.

Тогда площадь:

1/2 * 12 * 5 = 30.

Ответ: 30.