Треугольник ABC - равносторонний. Окружность, вписанная в этот треугольник, касается его сторон в точках M и N. Длина дуги этой окружности равна 1. Какой периметр имеет треугольник ABC?

1. Длина окружности радиуса r вычисляется по формуле:

C = 2 * π * r.

Таким образом, длина дуги MN будет равна:

MN = C/3 = (2 * π * r) / 3.

Так как по условию MN = 1, то найдем длину радиуса r:

(2 * π * r) / 3 = 1;

2 * π * r = 3 (по пропорции);

r = 3 / (2 * π).

2. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник находится по формуле:

r = a√3 / 6,

где a - длина стороны треугольника.

a√3 / 6 = 3 / (2 * π);

a = (6 * 3) / (√3 * 2 * π) = 9 / (√3 * π) = 9√3 / (3 * π) = 3√3 / π.

3. Периметр равностороннего треугольника ABC равен:

P = 3 * a = 3 * 3√3 / π = 9√3 / π.

Ответ: P = 9√3 / π.