Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник если каждый угол равен 135 градусов?

Возьмем произвольный выпуклый многоугольник, количество сторон и углов которого обозначим через n. Известно, что все углы этого многоугольника равны между собой и составляют по 135 градусов.

В задаче требуется найти количество сторон n этого многоугольника.

Сумма углов многоугольника

Для решения задачи:

Запишем формулу суммы углов многоугольника; Подсчитаем сумму углов по условию задачи; Решим полученное уравнение.

Возьмем внутри многоугольника точку О и соединим ее со всеми вершинами. Получим n треугольников, причем, одна из вершин у каждого из них находится в точке О и одной из сторон является сторона многоугольника. Сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°. Соответственно, сумма внутренних углов всех n треугольников будет равна (n * 180°).

Очевидно, что эта сумма одновременно равна сумме всех углов многоугольника Σ плюс полный угол в 360° или оборот вокруг точки О. Говоря иначе,

n * 180° = Σ + 360°;

Отсюда получаем, что сумма всех углов многоугольника равна:

Σ = n * 180° - 360° = (n - 2) * 180°;

Вычисление числа сторон многоугольника

С другой стороны, по условию задачи, каждый угол многоугольника равен 135°. Следовательно, сумма всех внутренних углов многоугольника равна (n * 135°).

Получаем уравнение:

(n - 2) * 180 = n * 135;

Решая это уравнение, получаем ответ:

(n - 2) * 180 = n * 135;

n * 180 - 360 = n * 135;

n * (180 - 135) = 360;

45 * n = 360;

n = 8;

Ответ: количество сторон многоугольника равно 8

По условию все углы выпуклого многоугольника равны 135°, тогда этот многоугольник правильный.

Градусная мера угла правильного многоугольника вычисляется по формуле:

α = (n - 2) / n * 180°,

где α - угол правильного многоугольника, n - количество сторон правильного многоугольника.

Подставим данные по условию значения в формулу:

(180° * (n - 2)) / n = 135°;

180° * (n - 2) = 135° * n (по пропорции);

180° * n - 180° * 2 = 135° * n;

180° * n - 135° * n = 180° * 2;

45° * n = 360°;

n = 360°/45°;

n = 8.

Ответ: выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 135°, имеет 8 сторон.