Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый внешний угол которого равен 1 градусу?

Для решения задачи о числе сторон выпуклого многоугольника, определим сначала внутренние углы этого выпуклого многоугольника.

Определение углов выпуклого многоугольника

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в одной вершине.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный углу многоугольника при этой вершине.

Данный выпуклый многоугольник имеет:

n - сторон; внешние углы β = 1°; внутренние углы α;

Сумма внутреннего и внешнего углов выпуклого многоугольника равна: α + β = 180°;

Тогда, внутренний угол α равен:

α = 180° - β = 180° - 1° = 179°;

Определение числа сторон выпуклого многоугольника

Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника Sn равна:

Sn = α · n = 179° · n;

В то же время, сумма углов выпуклого n-угольника рассчитывается по формуле:

Sn = 180° (n - 2);

Приравняем правые части этих выражений, тогда:

179° · n = 180° (n - 2);

Решая это уравнение, получаем:

180° · n - 179° · n = 360°;

1° · n = 360°;

n = 360;

Ответ: Выпуклый многоугольник имеет 360 сторон.

Так как каждый внешний угол выпуклого многоугольника равен 1°, то каждый внутренний угол выпуклого многоугольника равен 180° - 1° = 179° (так как внутренний и внешний углы многоугольника являются смежными, а сумма смежных углов равна 180°).

Сумма углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:

S = 180° * (n - 2),

где n - количество сторон выпуклого многоугольника.

Так как все углы выпуклого многоугольника равны по 179°, то сумма всех углов будет равна 179° * n.

Таким образом:

180° * (n - 2) = 179° * n;

180° * n - 180° * 2 = 179° * n;

180° * n - 360° = 179° * n;

180° * n - 179° * n = 360°;

1° * n = 360°;

n = 360°/1° (по пропорции);

n = 360.

Ответ: выпуклый многоугольник, каждый внешний угол которого равен 1°, имеет 360 сторон.