1) найти площадь равностороннего треугольника, если его высота равна 6 см. 2) найти площадь прямоугольного треугольника, если его острые углы относятся как 1:2, а гипотенуза равна 8 см. 3) периметр прямоугольника 40 м, площадь 36 м квадратных, найти стороны прямоугольника. 4) в прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5 см, а тангенс противолежащего к нему угла равен 1,25, найти второй катет

Задача 1

1. Вершины треугольника А, В, С. ВЕ = 6 сантиметров - высота.

2. Все углы данного треугольника равны 60°.

3. Вычисляем длину отрезка АЕ через тангенс ∠А прямоугольного треугольника АВЕ:

Тангенс ∠А = ВЕ/АЕ.

Тангенс ∠А = тангенс 60° = √3.

ВЕ/АЕ = √3.

АЕ = 6/√3 = 2√3 сантиметра.

4. Вычисляем площадь (S) треугольника АВС:

S = АС х ВЕ/2.

АС = АЕ + СЕ = 2√3 + 2√3 = 4√3 сантиметра.

S = 4√3 х 6/2 = 12√3 сантиметров².

Ответ: площадь треугольника АВС составляет 12√3 сантиметров².

Задача 2

1. Вершины треугольника А, В, С. АВ = 8 см - гипотенуза. ∠С = 90°.

2. Допустим, ∠А : ∠В = 1 : 2, то есть ∠В = 2∠А.

3. ∠А + ∠В + ∠С = 180°.

∠А + 2∠А + 90° = 180°.

3∠А = 90°.

∠А = 30°.

4. ВС = АВ/2, так как, согласно свойствам прямоугольного треугольника, катет, находящийся

напротив угла, равного 30°, равен 1/2 гипотенузы ...

ВС = 8 : 2 = 4 см.

5. АС = √АВ² - ВС² = √8² - 4² = √64 - 16 = √48 = 4√3 см.

6. Площадь треугольника = ВС х АС/2 = 4 х 4√3/2 = 8√3 см².

Ответ: площадь треугольника 8√3 см².

Задача 3

1. Принимаем за х (м) длину прямоугольника, за у (м) его ширину.

2. Составим систему из двух уравнений:

(1) 2 (х + у) = 40; х + у = 20; х = 20 - у;

(2) х х у = 36;

3. Подставляем х = (20 - у) во второе уравнение:

(20 - у) у = 36;

20 у - у² = 36;

у² - 20 у + 36 = 0;

Первое значение у = (20 + √400 - 144) / 2 = (20 + 16) / 2 = 18 м.

Второе значение у = (20 - 16) / 2 = 2 м.

Первое значение х = 20 - 18 = 2 м.

Второе значение х = 20 - 2 = 18 м.

4. Вычисляем площадь (S) прямоугольника:

S = 2 х 18 = 36 м².

Ответ: площадь прямоугольника составляет 36 м².

Задача 4

1. Вершины треугольника А, В, С. Тангенс ∠А = 1,25. ВС = 5 см.

2. Вычисляем длину искомого катета АС:

ВС/АС = тангенс ∠А = 1,25.

АС = ВС/1,25 = 5/1,25 = 4 см.

Ответ: длина катета АС = 4 см.