Найти объём параллелепипеда, в основании которого параллелограмм, со сторонами 2 и корень из 3, и углом между ними 30 градусов, если высота пирамиды равна меньшей диагонали основания.

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

V = S_осн * h.

Площадь основания равна площади параллелограмма со сторонами, равными 2 и √3, и углом между ними, который равен 30°. Площадь параллелограмма определяется как произведение длин двух соседних сторон нf синус угла между ними:

S_осн = a * b * sin 30° = 2 * √3 * 0,5 = √3.

Очевидно, что в параллелограмме меньшая диагональ лежит против меньшего угла, эту диагональ можем найти по теореме косинусов:

d² = a² + b² - 2 * a * b * cos 30° = 4 + 3 - 2 * 2 * √3 * √3 / 2 = 7 - 6 = 1;

d = 1 - меньшая диагональ основания, равная высоте параллелепипеда.

V = S_осн * h = √3 * 1 = √3 - искомый объем.