В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом 6 и прилежащим к нему углом 60 градусов. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов. Найти объем пирамиды.

Рассмотрим треугольник в основании. Он прямоугольный, один угол = 60°, второй = 30°. Катет, противолежащий углу 30° = 6, значит, гипотенуза = 12, второй катет = 6 корней из 3. Площадь треугольника равна половине произведения катетов = 6/2 * 6 корней из 3 = 18 корней из 3. Так как все боковые рёбра пирамиды образуют с основанием одинаковый угол, значит, они равны и их проекции равны. Раз проекции равны, то они пересекаются в точке пересечения медиан треугольника. Найдём медиану, проведённую к гипотенузе треугольника из прямого угла. Медиана равна половине гипотенузы = 6. От вершины угла до точки пересечения медиан 2/3 медианы = > длина проекций боковых рёбер на основание = 2/3 * 6=4. Высота перпедикулярна основанию. Тангенс 30 = высота делить на проекцию = > высота = 4/3 корней из 3. Объём пирамиды равен 1/3 произведения площади основания на высоту. Объём = 1/3 * 4/3 корней из 3 * 18 корней из 3 = 24 куб. ед. Ответ: 24 куб. ед.