В возрастающей геометрической прогрессии разность пятого и первого членов равна 15 а разность четвёртого и второго членов равна 6. сумма всех членов прогрессии равна 127. Определите число членов в данной прогрессии

По условию

(1) b5 - b1 = 15;

(2) b4 - b2 = 6.

Используем следующие формулы:

bn = b1 * q^ (n-1), n = 1, 2 ...

Sn = b1 * (q^n - 1) / (q - 1).

С учётом формул перепишем уравнения (1) и (2):

b1 * q^4 - b1 = b1 * (q^4 - 1) = b1 * (q^2 - 1) * (q^2 + 1) = 15;

b1 * q^3 - b1 * q = b1 * q * (q^2 - 1) = 6;

Разделим первое на второе и найдём q.

b1 * (q^2 - 1) * (q^2 + 1) / b1 * q * (q^2 - 1) = 15/6.

(q^2 + 1) / q = 15/6.

6 * q^2 + 6 = 15 * q.

2 * q^2 - 5 * q + 2 = 0.

Найдём дискриминант.

q1,2 = (5 ± (5^2 - 4 * 2 * 2) ^ (1/2) / 4 = (5 ± 3) / 4.

q1 = 2.

q2 = ½, не подходит, так как в нашем случае прогрессия возрастающая и q > 1.

Подставим значения в формулы b1 и Sn = 127.

b1 = 15 / (q^4 - 1) = 15 / (2^4 - 1) = 1.

127 = 1 * (2^n - 1) / (2 - 1) = 2^n - 1.

128 = 2^n.

N = 7.

В данной прогрессии 7 членов.