Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна m=5 см, плоский угол при вершине равен α=60°

Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат, боковые ребра равны друг друг, значит боковые грани - равнобедренные треугольники. Плоский угол при вершине пирамиды - это угол между боковыми ребрами, принадлежащими одной боковой грани. Поскольку плоский уголь при вершине равен 60°, то боковые грани - равносторонние треугольники, следовательно, боковое ребро равно стороне основания:

l = m = 5 см - боковое ребро.

Площадь квадрата со стороной, равной 5 см:

S_осн = 5² = 25 см².

Диагональ этого квадрата:

d² = m² + m² = 25 + 25 = 50;

d = 5√2 см.

Диагонали квадрат в точке пересечения делятся пополам.

Из прямоугольного треугольника, состоящего из высоты пирамиды, половины диагонали основания и бокового ребра, можем найти высоту:

h² = l² - (d / 2) ² = 5² - (25 * 2 / 4) = 25 - 25 / 2 = 25 / 2;

h = 5 / √2 см.

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

V = S_осн * h / 3 = 25 * (5 / √2) / 3 = 125 / 3√2 ≈ 29,46 см³.