Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 дм, а двугранный угол при боковом ребре - 120 градусов. Найдите высоту пирамиды.

Обозначим данную по условию пирамиду SABCD.

Из вершин В и D, проведем перпендикуляры BK, DK к стороне SC. Угол DKB - это линейный угол двугранного угла с ребром SC, который по условию равен 120°.

SC перпендикулярно плоскости BKD (признак перпендикулярности прямой и плоскости).

Рассмотрим равнобедренный треугольник BKD, основание BD = 2√2 дм (диагональ квадрата со стороной 2 дм).

КО - высота (медиана). В прямоугольном треугольнике KOD катет OD = √2 дм, угол ODK = 30°, находим катет ОК:

ОК = OD * tg ODK = √2 * tg 30° = √2 * 1/√3 = √2/√3 (дм).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: OKС и SOC. Они подобные - острый угол С - общий.

Из подобия треугольников записываем отношение сторон:

SO / OK = SC / OC

SO * √3 / √2 = √ (SO² + 2) / √2

SO * √3 = SO² + 2

3 * SO² = SO² + 2

2 * SO² = 2

SO² = 1

SO = 1 (дм) - высота пирамиды.

Ответ: высота пирамиды 1 дм.