Докажите, что если у прямоугольника диагонали являются биссектрисами его углов, то он является квадратом

Давайте разбираться.

Дано:

ABCD - прямоугольник

Решение:

Так как ABCD - прямоугольник, то все его углы являются прямыми, а все диагонали равны: AC=BD.

А также в точке пересечения они делятся пополам: AO=OC, BO=OD.

Так как AC и BD - биссектрисы, то угол OBC=углу OCB=45 градусов.

Значит угол BOC=180 градусов-угол OBC-угол OCB=180-45-45=90 градусов и диагонали перпендикулярны.

Затем выполняется второй признак квадрата: диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Поэтому ABCD - квадрат.

ЧТД.