Площадь полной поверхности правильной четырехугольной призмы равна 130 см2, а площадь основания - 25 см2. Найдите диагональ призмы.

Пусть дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁: Sп. п. = 130 см², Sосн. = 25 см². Диагональ призмы представляет собой отрезок AC₁, который можно найти из прямоугольного △ACC₁.

1. В основаниях ABCDA₁B₁C₁D₁ лежат квадраты. Площадь квадрата равна:

S = a²,

где a - длина стороны.

Таким образом:

Sосн. = a²;

a² = 25;

a = √25;

a = 5 см.

Из △ACD найдем AC по теореме Пифагора:

AC = √ (AD² + CD²) = √ (5² + 5²) = √ (25 + 25) = √ (2 * 25) = 5√2 (см).

1. Площадь полной поверхности равна:

Sп. п. = Sбок. + 2 * S осн.

Найдем площадь боковой поверхности:

Sбок. = Sп. п. - 2 * S осн. = 130 - 2 * 25 = 130 - 50 = 80 (см²).

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех четырех граней призмы, тогда площадь одной грани DD₁C₁C равна:

S = Sбок./4 = 80/4 = 20 (см²).

Грань DD₁C₁C представляет собой прямоугольник:

S = C₁C * CD;

5 * C₁C = 20;

C₁C = 20/5;

C₁C = 4 (см).

1. Из △ACC₁ по теореме Пифагора найдем AC₁:

AC₁ = √ (AC² + C₁C²) = √ ((5√2) ² + 4²) = √ (50 + 16) = √66 (см).

Ответ: AC₁ = √66 см.