Докажите, что если изменить четырёхугольник, сохранив прежними длины его диагоналей и угол между ними, то площадь четырёхугольника не изменится.

Точка пересечения диагоналей О четырехугольника ABCD является вершиной углов α и β треугольников с площадями:

½ * AO * BO * sinα для ∆ AOB;

½ * BO * CO * sinβ для ∆ BOC;

½ * CO * DO * sinα для ∆ COD;

½ * AO * DO * sinβ для ∆ AOD;

где:

sinβ = sin (180° - α) = sinα;

Сложив эти площади, найдем площадь ABCD:

S = ½ * (AO * BO + BO * CO + CO * DO + AO * DO) * sinα = ½ * AC * BD * sinα;

Четырехугольники с одинаковыми диагоналями и углом α между ними имеют одинаковую площадь, что и требовалось доказать.