Найдите сумму диагоналей данного четырехугольника, если периметр четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника равен 24 см.

Пусть дан четырёхугольник АВСД, M, N, K, P - середины сторон АВ, ВС, СД, и АД. Дано, что MN + NP + PK + KM = 24 (см).

Найти АВ + ВС + СД + АД.

Так как точки M, N, P, K середины сторон АВ, ВС, СД и АД, то MN, NP, PK, MK - средние линии в соответствующих треугольниках, и равны половине тех сторон, которым они параллельны.

MN = АС / 2, NP = ВД / 2, PK = АС / 2, MK = ВД / 2.

Складываем левые и правые части полученных равенств, после чего получим:

MN + NP + PK + MK = (АС / 2) * 2 + ВД / 2 = АС + ВД. Но MN + NP + PK + MK = 24 по условию, значит сумма диагоналей АС + ВД = 24 (см).

В задаче рассматриваются 2 четырёхугольника, надо найти сумму диагоналей данного четырехугольника, по периметру (24 см) другого четырехугольника с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника. Прежде чем приступить к решению задачи, надо аккуратно, с соблюдением пропорций выполнить чертёж, который поможет наглядно найти ответ на требование задачи.

Средняя линия треугольника и её свойства

Если вы построили чертёж к задаче, то надо внимательно отыскать все треугольники, основаниями которых являются диагонали и вспомнить следующие понятия и теоретические факты.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине. Периметром четырёхугольника называется сумма длин всех сторон. Введение обозначений и решение задачи

На построенном чертеже, для удобства объяснения решения задачи, введём следующие обозначения:

диагонали данного четырёхугольника d₁ и d₂, вы нашли середины сторон данного четырёхугольника, отметили на чертеже точки и соединили их отрезками. Обозначим их m, n и p, h. Рассмотрим один треугольник с основанием d₁: отрезок m, соединяющий середины двух сторон этого треугольника, является его средней линией, m = 0,5 * d₁. Рассмотрим второй треугольник с основанием d₁: отрезок n, соединяющий середины двух сторон этого треугольника, является его средней линией, n = 0,5 * d₁. Из (1) и (2) m + n = d1. Аналогично р + h = d₂. (Рассмотрев пару треугольников с основанием d ₂). Из (3) и (4) d₁ + d₂ = m + n + р + h = 24 см.

Ответ: 24 сантиметра.