Площадь боковой поверхности конуса 36 пи см2. Какой должна быть длина радиуса его основания, чтобы объем конуса был наибольшим?

Для вычисления каким должна быть длина радиуса основания конуса, чтобы объем конуса был наибольшим мы начнем с того, что вспомним формулу для вычисления площади боковой поверхности:

Sбок = π * R * L;

Выразим L:

π * R * L = 36π;

R * L = 36;

L = 36/R,

где L - длина образующей, R - радиус основания.

Объем конуса найдем по формуле:

V = 1/3 * π * R^2 * H = 1/3 * πR^2 * √ (L^2 - R^2) = 1/3 * πR^2√ ((36/R) ^2 - R^2) = 1/3π√ (1296R^2 - R^4).

Вводим замену: x = R^2.

V = π/3 * √ (1296x - x^2) = π/3 * √ (648^2 - (x^2 - 2x * 648 + 648^2)) = π/3√ (648^2 - (x - 648) ^2).

V = Vmax, если x = 648, следовательно R^2 = 648; R^2 = 324 * 2; R = 18√2 см.