В правильном треугольнике АВС медианы АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. Точки K, M и N - середины отрезков АО, ВО и СО соответственно. Найти периметр шестиугольника A1MC1KB1N, если АВ = a.

Так как в правильном треугольнике медианы являются высотой, биссектрисой и медианой и делятся точкой пересечения в отношении 2 к 1, то АО/А1 О = ВО/В1 О = СО/С1 О = 2/1.

Следовательно, ОС1 = ОА1 = ОВ1 = OK = OM = ON = x, а полученный шестиугольник - равносторонний.

Поэтому периметр его равен: Р = 6 * b, где b - сторона шестиугольника.

Из прямоугольного треугольника А1 ВО, А1 В = а/2, угол А1 ВО = 30º, так как АА1 = ВВ1 - биссектрисы, медианы и высоты.

Значит, угол МОА1 = 60º.

А так как ОМ = ОА1, то треугольник МОА1 - равносторонний, тогда b = x.

По теореме синусов ОА1 = х = А1 В * tg (OBA1) = a/2 * tg30º = a/2 * √3/3 = a√3/6.

Периметр A1MC1KB1N равен:

Р = 6 * х = 6 * a√3/6 = a√3.