1) Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиус описаной окружности. 2) Периметр равносторонего треугольника равен 6√3 см. Найдите радиус описаной окружности. 3) Найдите радиус вписаной окружности для треугольника со стороной 13, 14, 15.

1. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле:

R = 1/2 √ (a² + b²), где a, b - катеты.

R = 1/2 √ (40² + 42²) = 1/2 √ (1600 + 1764) = 1/2 √3364 = 1/2 * 58 = 29 см.

Ответ: 29 см.

2.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника можно найти через сторону, по формуле:

R = a / √3, где а - сторона треугольника.

По условию задачи известен периметр, найдем сторону:

a = P / 3 = 6√3 / 3 = 2√3 см. - сторона треугольника.

Теперь найдем радиус:

R = 2√3 / √3 = 2 см.

Ответ: 2 см.

3.

Радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле:

r = √ ((p - a) * (p - b) * (p - c)) / p, где:

a, b, c - стороны, p - полупериметр.

p = 1/2 * (13 + 14 + 15) = 21.

r = √ ((21 - 13) * (21 - 14) * (21 - 15)) / 21 = √ (8 * 7 * 6) / 21 = √326 / 21 = √16 = 4.

Ответ: r = 4.