Доказать что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.

Будем доказывать данное утверждение от обратного, а именно, предположим, что существует такой треугольник, длины сторон которого равны а, b и с, такой что его полупериметр меньше длины одной из его сторон.

Пусть такой стороной является сторона с.

Тогда должно выполняться следующее неравенство:

(а + b + c) / 2 < c.

Упрощая данное неравенство, получаем:

а + b + c < 2c;

а + b < 2c - c;

а + b < c.

Следовательно, в данном треугольнике сумма длин сторон а и b меньше длины стороны с.

Однако во всяком треугольнике сумма длин любых его двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

Следовательно, мы пришли к противоречию, что говорит о том, что во всяком треугольнике его полупериметр больше длины каждой из его сторон.