На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка К, для которой CK=BC. Отрезок CK пересекает биссектрису AM в её середине. Найти углы треугольника ABC

По условию угол С равен 90º.

Пусть угол А = α.

Тогда угол А в треугольнике САМ равен α/2.

Обозначим точку пересечения АМ с СK буквой L.

Так как AL = LM, то для прямоугольного треугольника САМ отрезок CL является медианой.

По свойству медианы в прямоугольном треугольнике проведенной к гипотенузе, AL = CL = LM.

Следовательно, треугольник CAL равнобедренный, тогда угол С в нём равен α/2, а угол L = L1 = 180 - 2 * α/2 = 180 - α.

Тогда в треугольнике LAK угол L = 180 - L1 = 180 - 180 + α = α, A = α/2, следовательно, K = K1 = 180 - α/2 - α = 180 - 3 * α/2.

В треугольнике KCB углы K и B равны, так как по условию СK = BC, а угол K = 180 - K1 = 180 - 180 + 3 * α/2 = 3 * α/2.

Значит, угол В = 3 * α/2.

Составим уравнение с одной неизвестной:

С + А + В = 180º;

90º + α + 3 * α/2 = 180º;

5 * α/2 = 90.

α = 180/5 = 36º.

Следовательно,

С = 90º,

А = α = 36º;

В = 3 * α/2 = 3 * 36/2 = 54º.