Найти площадь круга вписанного в правильный шестиугольник со сторонами равными 10 см.

Соединим отрезками центр круга, вписанный в данный правильный шестиугольник с вершинами этого шестиугольника.

Тогда шестиугольник будет разделен на 6 одинаковых равносторонних треугольников.

Рассмотрим один из этих треугольников.

Проведем высоту данного треугольника из вершины, совпадающей с центром круга.

Эта проведенная высота будет являться радиусом круга.

Найдем ее.

Так как длина стороны такого треугольника равна 10 см, то используя теорему Пифагора, находим длину высоты h:

h = √ (10^2 - (10/2) ^2) = √ (10^2 - 5^2) = √ (100 - 25) = √75 = 5√3.

Зная радиус, находим площадь S круга:

S = π * (5√3) ^2 = 75π см^2.

Ответ: 75π см^2.