Середина диагонали bd выпуклого четырехугольника abcd удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 7. Найдите площадь четырехугольника, если ас=50.

Четырехугольник, у которого середина диагонали удалена от каждой стороны на равное расстояние, является либо квадратом, либо ромбом.

Пусть дан ромб ABCD: AC = 50 и BD - диагонали, O - точка пересечения диагоналей, которая делит их пополам, тогда:

OA = OC = AC/2 = 50/2 = 25;

OB = OD = BD/2.

Таким образом, диагонали делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.

1. Рассмотрим △AOB: ∠AOB = 90°, OA = 25 и OB - катеты, AB - гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла), OH = 7 - высота.

Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла, равна:

h = (a * b) / c,

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

По теореме Пифагора:

c = √ (a² + b²).

Таким образом:

h = (a * b) / (√ (a² + b²));

OH = (OA * OB) / (√ (OA² + OB²)).

Подставим известные значения:

(25 * OB) / (√ (25² + OB²)) = 7;

√ (625 + OB²) = (25 * OB) / 7 (по пропорции);

625 + OB² = (625 * OB²) / 49;

49 * (625 + OB²) = 625 * OB² (по пропорции);

30625 + 49 * OB² = 625 * OB²;

625 * OB² - 49 * OB² = 30625;

576 * OB² = 30625;

OB² = 30625/576;

OB = √ (30625/576);

OB = 175/24.

2. Длина диагонали BD равна:

BD = 2 * OB = 2 * 175/24 = 175/12.

3. Площадь ромба равна:

S = (d1 * d2) / 2,

где d1 и d2 - диагонали.

Площадь ABCD равна:

S = (AC * BD) / 2 = (50 * 175/12) / 2 = (50 * 175) / 24 = 8750/24 = 4375/12 = 364,58 (3).

Ответ: S = 364,58 (3).