Внутри треугольника взята точка. докажите, что сумма отрезков от этой точки до вершин, меньше периметра треугольника

Пусть внутри треугольника АВС взята точка М, и требуется доказать, что (АМ + ВМ + СМ) < (АВ + ВС + АС).

Возьмём неравенство треугольника, в котором любая его сторона меньше суммы двух сторон: АВ < (ВС + АС).

Используется неравенство: если точка М внутри треугольника АВС, то справедливо: МА + МС < АВ + ВС. Запишем для каждой пары сторон:

МА + МС < АВ + ВС; МВ + МА < ВС + АС; МВ + МС < АВ + АС, складываем три неравенства, получим:

МA + MС + MВ + МA + МС + MВ < АВ + ВС + ВС + АС + АВ + АС;

2 * (МА + MВ + МС) < 2 * (AВ + ВС + AС):

МA + МВ + MС < AВ + ВС + AС.