Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника и находится на расстоянии 3 см от его плоскости. Высота треугольника равна 6 см. Найти расстояние от точки D до вершин треугольника.

Так как D равноудалена от вершин треугольника, то ее проекция на плоскость является центром описанной окружности треугольника.

Центр описанной окружности и центр вписанной окружности у правильного треугольника совпадают и лежат в пересечении высот треугольника.

Радиус описанной окружности в 2 раза больше, чем вписанной.

Сумма радиуса вписанной и описанной окружностей равна высоте треугольника.

Поэтому радиус описанной окружности равен 4 см (радиус вписанной 2 см).

Расстояние от D то вершин считаем по теореме Пифагора.

R = Корень (4*4 + 3*3)

Ответ: 5 см.