Образующая конуса 8, а угол при вершине осевого сечения 60 градусов. найти объем конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого являются образующими конуса, основание - диаметр основания конуса. Высота, опущенная из вершины осевого сечения, совпадает с высотой конуса, кроме того, она является одновременно биссектрисой угла при вершине и медианой, делящей основание пополам. Следовательно, угол между высотой конуса и его образующей равен половине угла при вершине: α = 60° / 2 = 30°.

Таким образом, для прямоугольного треугольника, гипотенуза которого совпадает с образующей конуса, а катеты - высота конуса и радиус его основания, можем записать:

cos α = h / l;

sin α = r / l.

Отсюда:

h = l * cos α = 8 * cos 30° = 8 * √3 / 2 = 4√3;

r = l * sin α = 8 * sin 30° = 8 * 0,5 = 4.

Объем конуса определяется как треть произведения его высоты на площадь основания:

V = h * S_осн / 3 = h * пr² / 3 = п * 4√3 * 16 / 3 = 64√3 п / 3 ≈ 116,08.