В треугольнике АВС известно, что угол С=90 градусов, угол А=15 градусов, угол ВС = 11 см. На катете АС отметили точку М так, что угол ВМС = 30 градусов. Найдите отрезок АМ

1. Рассмотрим треугольник МСВ: угол МСВ = угол С = 90 градусов, МС и ВС = 11 см - катеты, МВ - гипотенуза, угол ВМС = 30 градусов. В прямоугольном треугольнике напротив угла, равного 30 градусов, лежит катет, который в 2 раза меньше гипотенузы:

ВС = МВ/2.

Тогда:

МВ = 2 ВС;

МВ = 2*11 = 22 (см).

2. Углы ВМС и ВМА - смежные, тогда:

угол ВМС + угол ВМА = 180 градусов;

30 + угол ВМА = 180;

угол ВМА = 180 - 30;

угол ВМА = 150 градусов.

3. Рассмотрим треугольник АМВ: угол МАВ = угол А = 15 градусов, угол ВМА = 150 градусов.

По теореме о сумме углов треугольника:

угол МАВ + угол ВМА + угол АВМ = 180 градусов;

15 + 150 + угол АВМ = 180;

угол АВМ = 180 - 165;

угол АВМ = 15 градусов.

Таким образом, угол МАВ = угол АВМ = 15 градусов, тогда треугольник АМВ равнобедренный, а углы МАВ и АВМ - углы при основании равнобедренного треугольника (АВ - основание). Тогда, МВ = МА - боковые стороны:

МВ = МА = 22 см.

Ответ: АМ = 22 см.