В треугольнике АВС медианы АМ и ВК равны 9 и 12, сторона АВ = 10. Чему равна третья медиана?

Треугольник АВС, АМ = 9 - медиана ВС, ВК = 12 - медиана АС, СЕ - медиана АВ, АВ = 10. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

m = √ (2b^2 + 2c^2 - a^2) / 2,

где а - сторона, к которой проведена медиана, b и c - другие стороны треугольника.

1. Выразим все три медианы через формулы:

АМ = √ (2 АВ^2 + 2 АС^2 - ВС^2) / 2;

ВК = √ (2 АВ^2 + 2 ВС^2 - АС^2) / 2;

СЕ = √ (2 ВС^2 + 2 АС^2 - АВ^2) / 2.

Подставим известные данные:

9 = √ (2*10^2 + 2 АС^2 - ВС^2) / 2;

12 = √ (2*10^2 + 2 ВС^2 - АС^2) / 2;

СЕ = √ (2 ВС^2 + 2 АС^2 - 10^2) / 2.

2. Пусть АС = x, ВС = y, тогда получим систему уравнений с тремя неизвестными:

√ (200 + 2x^2 - y^2) / 2 = 9;

√ (200 + 2y^2 - x^2) / 2 = 12;

√ (2y^2 + 2x^2 - 100) / 2 = СЕ.

3. В первом уравнении системы выразим y^2 через x^2:

√ (200 + 2x^2 - y^2) = 18 (по пропорции);

200 + 2x^2 - y^2 = 324;

- y^2 = 324 - 200 - 2x^2;

y^2 = 2x^2 - 124.

4. Полученное выражение подставим во второе и третье уравнение системы:

√ (200 + 2 (2x^2 - 124) - x^2) / 2 = 12;

√ (2 (2x^2 - 124) + 2x^2 - 100) / 2 = СЕ.

Получили систему уравнений с двумя неизвестными:

√ (200 + 4x^2 - 248 - x^2) / 2 = 12;

√ (4x^2 - 248 + 2x^2 - 100) / 2 = СЕ.

Приведем подобные:

√ (3x^2 - 48) / 2 = 12;

√ (6x^2 - 348) / 2 = СЕ.

5. В первом уравнении системы найдем значение х:

√ (3x^2 - 48) = 24 (по пропорции);

3x^2 - 48 = 576;

3x^2 = 576 + 48;

3x^2 = 624;

x^2 = 624/3;

x^2 = 208.

6. Полученное значение подставим во второе уравнение системы:

√ (6*208 - 348) / 2 = СЕ.

Решим уравнение с одной неизвестной:

СЕ = √ (1248 - 348) / 2;

СЕ = √ (900) / 2;

СЕ = 30/2;

СЕ = 15.

Ответ: третья медиана СЕ равна 15.