1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найти углы этого треугольника, если угол ADB равен 110 град. 2. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK отрезок EF - биссектриса, DK = 16 см, угол DEF равен 43 град. Найти углы DEK, EFD, KF. 3. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С, внешний угол при вершине A равен 120 град., AC+AB=18 см. Найти AC и AB.

1. D находится на стороне СВ. Углы BDA и ADC в сумме дают 180°. Угол BDA = 110°, значит, угол ADC = 70°. Так как треугольник равнобедренный, и есть биссектриса, то составим уравнение суммы углов треугольника АВС:

70 + х + 0,5 х = 180, 3 х = 220, х = 73, (3) °. Верхний угол треугольника равен (180 - 2 х), другими словами, равен примерно 33°.

2. Угол DEK = 86°, так как EF - биссектриса этого угла, и угол DEK = 43° по условию.

Угол EFD = 90°, так как EF - биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника, такая биссектриса является и медианой, и высотой.

KF = 8 см, так как EF - медиана.

3. Внешний угол + угол А = 180°. Следовательно угол А = 60°. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол В = 30°. По свойству прямоугольного треугольника, длина катета АС равна половине длины гипотенузы АВ. Составим уравнение: х + 2 х = 18, х = 6.

Таким образом, АС = 6 см, АВ = 12 см.