1) Медианы AK и BM треугольника ABC пересекаются в точке O, AB=13, BC=14, CA=15. Найдите площадь треугольника AOM. 2) Биссектрисы AM и BK треугольника ABC пересекаются в точке O, AO=2, OM=1, AK=2, CK=3. Найдите периметр треугольника.

1) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как AK и BM медианы и O - точка их пересечения, то имеем:

AM = MC, MO = 1/3 * BM.

Тогда площадь S треугольника AOM:

S = 1/2 * AM * h, где h - высота опущенная из вершины O на сторону AM.

Но высота h = 1/3 * H, где H - высота треугольник ABC, опущенная из вершины B на AC.

Имеем:

S = 1/2 * AM * h = 1/2 * 1/2 * AC * 1/3 * H = 1/6 * (1/2 * AC * H) = 1/6 * s,

где s - площадь треугольника ABC.

Подсчитаем площадь s треугольника ABC по формуле Герона:

p = 1/2 * (13 + 14 + 15) = 21,

s = √ p * (p - 13) * (p - 14) * (p - 15) = √ 21 * 8 * 7 * 6 = √ 7^2 * 3^2 * 4^2 = 7 * 3 * 4,

S = 1/6 * s = 1/6 * 7 * 3 * 4 = 14.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Обозначим:

AB = x, BM = y1, CM = y2 и BC = y. Очевидно, что y = y1 + y2.

BK - биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы имеем:

AB / AK = BC / CK,

x / 2 = y / 3.

AM - биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы имеем:

AC / CM = AB / BM,

5 / y1 = x / y2.

BO - биссектриса треугольника ABM. По свойству биссектрисы имеем:

AB / AO = BM / OM,

x / 2 = y2 / 1.

Итак получили уравнения:

x / 2 = y / 3,

5 / y1 = x / y2,

x / 2 = y2 / 1.

Имеем: x / 2 = y2 / 1 y2 = x / 2.

5 / y1 = x / (x / 2) = 2 y1 = 5/2.

x / 2 = y / 3 x / 2 = (y1 + y2) / 3 x / 2 = (5/2 + x / 2) / 3

3 * x / 2 = 5/2 + x / 2 x = 5/2.

y2 = x / 2 = 5/2 / 2 = 5/4, y = y1 + y2 = 5/2 + 5/4 = 15/4.

Периметр ABC:

P = AB + BC + AC = 5/2 + 15/4 + 5 = 25/4 + 5 = 45/4.