С точки до прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше от другой.

По сути две наклонные проведенные из одной точки до прямой и их проекции образуют треугольник АВС, основание которого АС = 9 + 16 = 25 (см), а расстояние от точки до прямой - это высота полученного треугольника ВН. Таким образом, ВН делит треугольник АВС на два прямоугольных треугольника АВН и ВСН. Обозначим гипотенузу треугольника АВН х, а гипотенузу треугольника ВСН х + 5 (так как одна из наклонных больше другой на 5 см).

В треугольнике АВН найдем ВН по теореме Пифагора:

ВН = √ (x^2 - 9^2).

В треугольнике ВСН найдем ВН по теореме Пифагора:

ВН = √ ((х + 5) ^2) - 16^2).

Получается:

√ (x^2 - 9^2) = √ ((х + 5) ^2) - 16^2);

x^2 - 81 = x^2 + 10x + 25 - 256;

10x = 256 - 25 - 81;

10 х = 150;

х = 15 см

Итак: гипотенуза треугольника АВН равна 15 см. В треугольнике АВН найдем ВН по теореме Пифагора:

ВН = √ (x^2 - 9^2);

ВН = √ (225 - 81) = √144 = 12 (см).

Для проверки сделаем то же самое в треугольнике ВСН:

ВН = √ ((х + 5) ^2) - 16^2);

ВН = √ (20^2 - 256) = √ (400 - 256) = √144 = 12 (cм).

Ответ: ВН = 12 см