Из точки А в окружность с центром О проведены касательные АВ и АС. Докажите, что точка О лежит на биссектрисе угла ВАС.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ОВА и ОСА, где:

отрезок ОВ перпендикулярен АВ

отрезок ОС перпендикулярен АС - как радиусы к касательным в точке касания

Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе.

Катеты равны как радиусы, а гипотенуза АО - общая.

Раз треугольники равны, значит против равных сторон лежат равные углы, то есть угол ОАВ равен углу ОАС, а это значит, что ОА - биссектриса угла ВАС.

Итак, точка О лежит на биссектрисе угла ВАС, что и требовалось доказать.