Найдите угол между векторами PH и KM, если P (1, 0, 2), H (1, корень из 3, 3), К (-1, 0, 3) М (-1, - 1, 3)

Косинус угла между векторами a и b равен:

cos∠ (a, b) = (a * b) / (|a| * |b|),

где a * b - скалярное произведение векторов, |a| и |b| - длины векторов.

1. Найдем координаты вектора PH:

PH = (1 - 1; √3 - 0; 3 - 2) = (0; √3; 1).

Найдем координаты вектора KM:

KM = ( - 1 - ( - 1); - 1 - 0; 3 - 3) = (0; - 1; 0).

1. Скаляным произведением векторов a (a₁; a₂; a₃) и b (b₁; b₂; b₃) называется число a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃.

Скалярное произведение векторов PH и KM равно:

PH * KM = 0 * 0 + √3 * ( - 1) + 1 * 0 = 0 - √3 + 0 = - √3.

1. Длина вектора a (a₁; a₂; a₃) вычисляется по формуле:

|a| = √ (a₁² + a₂² + a₃²).

Найдем длину вектора PH:

|PH| = √ (0² + (√3) ² + 1²) = √ (0 + 3 + 1) = √4 = 2.

Найдем длину вектора KM:

|KM| = √ (0² + ( - 1) ² + 0²) = √ (0 + 1 + 0) = √1 = 1.

1. Таким образом, косинус угла между векторами PH и KM равен:

cos∠ (PH, KM) = ( - √3) / (2 * 1) = - √3/2.

∠ (PH, KM) = 150°.

Ответ: ∠ (PH, KM) = 150°.