Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника меньше 60, к боковой стороне проведено медиану и высоту, длины которых равны 3*sqrt (5) и 6. Найти длину боковой стороны

Треугольник АВС: АВ = ВС, АМ = 3√5 - медиана, АН = 6 - высота.

1. Из треугольника АНМ (по теореме Пифагора):

МН = √ (AM^2 - AH^2) = √ ((3√5) ^2 - 6^2) = √ (9*5 - 36) = √ (45 - 36) = √9 = 3.

2. Так как АМ медиана то:

ВМ = МС.

Точка Н делит МС на отрезки:

МС = МН + СН.

Тогда:

ВМ = МН + СН.

Подставим значение МН:

ВМ = МС = 3 + СН.

3. ВС состоит из отрезков:

ВС = ВМ + МС = 2 (3 + СН) = 6 + 2 СН.

Так как АВ = ВС, то:

АВ = 6 + 2 СН.

4. Из треугольника АНВ (по теореме Пифагора):

АВ = √ (BH^2 + AH^2);

6 + 2 СН = √ ((ВМ + МН) ^2 + 6^2);

6 + 2 СН = √ ((3 + СН + 3) ^2 + 6^2);

6 + 2 СН = √ ((6 + СН) ^2 + 6^2);

6 + 2 СН = √ (36 + 12 СН + СН^2 + 36);

6 + 2 СН = √ (СН^2 + 12 СН + 72) (возведем обе части уравнения в квадрат);

36 + 24 СН + 4CH^2 = СН^2 + 12 СН + 72;

4CH^2 - СН^2 + 24 СН - 12 СН + 36 - 72 = 0;

3 СН^2 + 12 СН - 36 = 0;

СН^2 + 4 СН - 12 = 0.

Дискриминант:

D = 16 + 48 = 64.

СН1 = ( - 4 + 8) / 2 = 4/2 = 2.

СН2 = ( - 4 - 8) / 2 = - 12/2 = - 6 - не удовлетворяет смыслу задачи.

Таким образом отрезок СН равен 2.

5. Найдем длину МС:

МС = МН + СН = 3 + 2 = 5.

ВС = 2 МС = 2*5 = 10.

Тогда:

АВ = ВС = 10.

Ответ: АВ = ВС = 10.